Il diagramma di Nyquist è uno strumento fondamentale nell'analisi dei sistemi di controllo e nella teoria dei segnali. Sviluppato dal matematico e ingegnere Harry Nyquist negli anni '30, questo diagramma offre una rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema, evidenziando la stabilità e le caratteristiche di feedback. La sua importanza risiede nella capacità di fornire informazioni dettagliate sul comportamento di un sistema dinamico, consentendo ingegneri e progettisti di effettuare analisi approfondite e ottimizzazioni.

Il diagramma di Nyquist rappresenta la risposta in frequenza di un sistema lineare, tracciando il guadagno e la fase del sistema in funzione della frequenza. In un diagramma di Nyquist, l'asse orizzontale rappresenta la parte reale della funzione di trasferimento, mentre l'asse verticale rappresenta la parte immaginaria. La curva tracciata nel diagramma è ottenuta valutando la funzione di trasferimento in corrispondenza di frequenze variabili, tipicamente da zero a un valore molto elevato. Questa rappresentazione fornisce una visualizzazione chiara di come il sistema risponde a diverse frequenze e come il guadagno e la fase cambiano in base a queste.

Una delle principali applicazioni del diagramma di Nyquist è l'analisi della stabilità dei sistemi di controllo. Attraverso il criterio di Nyquist, è possibile determinare se un sistema è stabile osservando il numero di giri che la curva compie attorno al punto critico di -1 + j0 nel piano complesso. Se il diagramma non circonda il punto critico, il sistema è considerato stabile. Al contrario, se il diagramma lo circonda, il sistema è instabile. Questa è una caratteristica cruciale nella progettazione di sistemi di controllo, poiché garantire la stabilità è essenziale per il corretto funzionamento di un sistema.

Un altro aspetto importante del diagramma di Nyquist è la sua capacità di rappresentare la risposta in frequenza di sistemi con ritardi. In presenza di ritardi, la risposta di un sistema può diventare complessa e il diagramma di Nyquist aiuta a visualizzare questi effetti. Ad esempio, un ritardo nel sistema può comportare una variazione significativa della fase, che può influenzare la stabilità. La rappresentazione grafica consente agli ingegneri di identificare e compensare tali effetti, migliorando le prestazioni complessive del sistema.

Per illustrare il concetto di diagramma di Nyquist, consideriamo un esempio pratico. Supponiamo di avere un sistema di controllo industriale che regola la temperatura di un forno. La funzione di trasferimento del sistema può essere rappresentata da una funzione razionale, in cui il numeratore e il denominatore sono polinomi che rappresentano le dinamiche del sistema. Calcolando la risposta in frequenza di questo sistema, si possono ottenere i valori di guadagno e fase in corrispondenza di diverse frequenze. Tracciando questi punti nel piano complesso, si ottiene il diagramma di Nyquist. Analizzando il diagramma, gli ingegneri possono determinare se il sistema è stabile e se le prestazioni sono adeguate per le applicazioni richieste.

Nel contesto delle formule, il diagramma di Nyquist si basa sulla funzione di trasferimento G(s), che è definita come il rapporto tra la trasformata di Laplace dell'uscita Y(s) e quella dell'ingresso X(s) di un sistema, ovvero G(s) = Y(s) / X(s). Per ottenere il diagramma di Nyquist, si deve valutare G(jω) per ω che varia da -∞ a +∞, dove j è l'unità immaginaria e ω è la frequenza angolare. I punti ottenuti vengono poi tracciati nel piano complesso. La stabilità del sistema può essere analizzata attraverso il criterio di Nyquist che si basa sull'integrazione della curva di Nyquist intorno al punto critico di -1 + j0, insieme all'analisi del numero di poli del sistema che si trovano a destra della retta immaginaria.

Il contributo di Harry Nyquist nel campo dell'ingegneria elettronica e del controllo è stato significativo. Oltre al diagramma di Nyquist, Nyquist ha anche sviluppato il teorema di campionamento, che stabilisce le condizioni per il campionamento di segnali analogici senza perdita di informazione. Questo teorema ha avuto un impatto profondo nel campo delle telecomunicazioni e dell'elaborazione dei segnali. Altri studiosi e ingegneri, come Bode e Ziegler, hanno ampliato e perfezionato le idee iniziali di Nyquist, contribuendo a sviluppare tecniche e strumenti che sono diventati standard nell'analisi dei sistemi di controllo.

Nel corso degli anni, l'uso del diagramma di Nyquist si è espanso a diverse aree dell'ingegneria, inclusa l'elettronica, l'automazione industriale, e la robotica. Oggi, il diagramma di Nyquist è uno strumento imprescindibile per ingegneri e tecnici, non solo per la progettazione di sistemi di controllo, ma anche per la diagnosi e la risoluzione di problemi complessi nei sistemi esistenti. La sua versatilità e potenza analitica lo rendono un argomento di studio fondamentale nei corsi di ingegneria e nelle applicazioni industriali.

In sintesi, il diagramma di Nyquist è un elemento chiave nella teoria dei sistemi di controllo, fornendo una rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema. Le sue applicazioni nella stabilità, nell'analisi dei ritardi e nella progettazione di sistemi di controllo lo rendono uno strumento essenziale per ingegneri e progettisti. La sua importanza storica e le sue applicazioni moderne testimoniano l'eredità duratura del lavoro di Harry Nyquist e dei suoi collaboratori nel campo dell'ingegneria elettronica.