Il metodo del simplesso è una tecnica fondamentale nell'ambito dell'ottimizzazione lineare, utilizzata per risolvere problemi di programmazione lineare che coinvolgono variabili continue e vincoli lineari. Introdotto da George Dantzig negli anni '40, questo metodo è diventato uno strumento cruciale per la ricerca operativa, l'economia, la logistica e molti altri settori. La sua capacità di gestire problemi complessi attraverso un approccio sistematico ha permesso di ottenere risultati significativi in numerosi contesti applicativi.

Il principio alla base del metodo del simplesso è quello di muoversi lungo i vertici di un poliedro definito dai vincoli di un problema di programmazione lineare, per trovare il punto ottimale che massimizza o minimizza una funzione obiettivo lineare. Il metodo inizia identificando una soluzione base iniziale, che di solito è un vertice del poliedro. Da questo punto, il metodo valuta le direzioni in cui è possibile migliorare la soluzione, spostandosi verso vertici adiacenti e continuando il processo fino a quando non si raggiunge una soluzione ottimale.

Il processo di risoluzione con il metodo del simplesso può essere suddiviso in vari passaggi chiave. In primo luogo, è necessario formulare il problema in termini di una funzione obiettivo, che deve essere massimizzata o minimizzata, e definire i vincoli che limitano le scelte delle variabili. Successivamente, il problema viene rappresentato in forma standard, il che implica che tutte le variabili devono essere non negative e tutti i vincoli devono essere espressi come equazioni. Questo passaggio è fondamentale per l'applicazione del metodo del simplesso.

Dopo la formulazione, il metodo del simplesso inizia con la costruzione di una tabella, nota come tabella del simplesso, che riassume le informazioni sulla funzione obiettivo e sui vincoli. In questa tabella, le variabili di base e le variabili non di base sono elencate, insieme ai coefficienti della funzione obiettivo e ai termini noti dei vincoli. La tabella permette di visualizzare rapidamente la situazione corrente e di identificare le opportunità di miglioramento.

Un elemento chiave del metodo del simplesso è la regola di scelta della variabile entrante e della variabile uscente. La variabile entrante è quella che, aumentando, porterà a un miglioramento della funzione obiettivo. La variabile uscente è quella che deve essere ridotta a zero, in modo da mantenere la soluzione all'interno del poliedro definito dai vincoli. Questo processo di pivoting continua fino a quando non si raggiunge una soluzione ottimale, che corrisponde a una situazione in cui non ci sono più possibilità di miglioramento.

Un esempio classico di utilizzo del metodo del simplesso è il problema della produzione, dove un'azienda deve decidere quanto produrre di diversi prodotti, dati i vincoli di risorse e la massimizzazione del profitto. Supponiamo che un’azienda produca due tipi di prodotti, A e B. La funzione obiettivo potrebbe essere rappresentata come:

Max Z = 3A + 5B

dove Z è il profitto totale, e i coefficienti 3 e 5 rappresentano il profitto per unità dei prodotti A e B, rispettivamente. I vincoli, ad esempio, potrebbero riguardare la disponibilità di risorse come manodopera e materiali:

2A + B ≤ 100 (vincolo di manodopera)
A + 2B ≤ 80 (vincolo di materiali)
A ≥ 0, B ≥ 0

Dopo aver formulato il problema, si costruisce la tabella del simplesso. Inizialmente, si possono introdurre variabili slack (variabili di scarto) per trasformare le disuguaglianze in equazioni. La tabella del simplesso viene quindi aggiornata attraverso iterazioni successive fino a trovare i valori ottimali per A e B che massimizzano il profitto.

Le formule utilizzate nel metodo del simplesso sono principalmente legate alla costruzione della tabella e al calcolo dei coefficienti. La funzione obiettivo viene espressa in termini delle variabili di base e non di base, e le operazioni di pivoting si basano su regole matematiche per aggiornare i coefficienti e i termini noti. Inoltre, l'algoritmo dipende fortemente da operazioni di sostituzione e manipolazione delle equazioni, che sono essenziali per mantenere la validità della soluzione e per garantire che si rimanga all'interno dei vincoli.

Il metodo del simplesso è stato sviluppato da George Dantzig, che ha posto le basi per la programmazione lineare moderna. Dantzig, un matematico e statistico statunitense, ha pubblicato il suo lavoro pionieristico nel 1947, dando vita a un nuovo campo di ricerca. Dopo la pubblicazione, il metodo ha attirato l'attenzione di numerosi ricercatori e professionisti, che hanno contribuito a perfezionare l'algoritmo e a trovare applicazioni pratiche in vari settori.

Collaborazioni significative sono avvenute tra Dantzig e altri matematici, come John von Neumann e Harold Kuhn, che hanno apportato contributi fondamentali alla teoria della programmazione lineare. Kuhn e Tucker, in particolare, hanno introdotto il concetto di condizioni di optimalità che sono essenziali per l'analisi delle soluzioni ottimali. Queste collaborazioni hanno permesso di sviluppare varianti del metodo del simplesso e di applicarlo a problemi sempre più complessi.

Negli anni successivi, il metodo del simplesso è stato ampliato e migliorato, portando all'emergere di algoritmi più avanzati, come il metodo del simplesso duale e il metodo del simplesso primale-duale. Questi sviluppi hanno ulteriormente ampliato le applicazioni del metodo, permettendo di affrontare problemi di programmazione lineare con strutture più complesse e vincoli non lineari.

In sintesi, il metodo del simplesso è uno strumento potente e versatile per la risoluzione di problemi di programmazione lineare. La sua efficacia e la sua applicabilità in una vasta gamma di settori lo hanno reso un elemento fondamentale nel campo dell'ottimizzazione e della ricerca operativa. Grazie ai contributi di pionieri come George Dantzig e alle successive innovazioni, il metodo del simplesso continua a essere un pilastro della matematica applicata, fornendo soluzioni a problemi complessi in un mondo in continua evoluzione.