L’analisi e la comprensione delle reti elettriche moderne richiedono un approccio che va oltre le semplici grandezze scalari. In questo contesto, l'uso dei numeri complessi si rivela fondamentale per rappresentare e analizzare le grandezze elettriche, in particolare quando si tratta di correnti e tensioni alternate. L’elettrotecnica ha beneficiato enormemente dall’adozione di questo strumento matematico, che consente di semplificare i calcoli e migliorare la comprensione del comportamento dei circuiti elettrici.

I numeri complessi sono costituiti da una parte reale e una parte immaginaria e sono comunemente espressi nella forma a + bi, dove a rappresenta la parte reale e b la parte immaginaria. In ambito elettrico, si possono associare le tensioni e le correnti a numeri complessi, in cui la parte reale corrisponde all'ampiezza della grandezza e la parte immaginaria fornisce informazioni sulla fase. Questa rappresentazione è particolarmente utile nell'analisi delle correnti alternate, dove le grandezze variano sinusoidalmente nel tempo. La trasformazione di una grandezza sinusoidale in un numero complesso consente di trattare tali grandezze come vettori nel piano complesso, facilitando operazioni come somma, sottrazione, e moltiplicazione.

Un aspetto chiave dell'uso dei numeri complessi nelle reti elettriche è la rappresentazione delle impedanze. In un circuito elettrico, l’impedenza è la misura della resistenza che un circuito oppone al passaggio di corrente alternata e si esprime anch'essa in termini di numeri complessi. L'impedenza Z è data dalla somma della resistenza R e della reattanza X, con la forma Z = R + jX, dove j è l'unità immaginaria. La reattanza può essere capacitiva (negativa) o induttiva (positiva), a seconda della presenza di condensatori o induttori nel circuito. Questa rappresentazione complessa consente di applicare le leggi di Ohm e Kirchhoff in modo più intuitivo, trattando le correnti e le tensioni come vettori nel piano complesso.

Un altro aspetto fondamentale è il concetto di fasore, che è una rappresentazione grafica di grandezze sinusoidali nel piano complesso. Un fasore è un vettore che ruota in senso antiorario nel piano complesso, dove la sua lunghezza rappresenta l'ampiezza della grandezza e l'angolo di rotazione rappresenta la fase. Utilizzando fasori, è possibile eseguire operazioni algebriche sulle grandezze sinusoidali, semplificando notevolmente i calcoli. Ad esempio, la somma di due correnti alternate può essere eseguita sommando i fasori corrispondenti. Questo approccio è particolarmente utile nei circuiti con più sorgenti di tensione o corrente, dove le interazioni tra le varie grandezze possono complicare i calcoli.

Un esempio pratico dell'applicazione dei numeri complessi nelle reti elettriche è l'analisi di un circuito RLC in serie, costituito da una resistenza R, un induttore L e un condensatore C. Supponiamo di avere una tensione alternata di ingresso V(t) = V_m * sin(ωt), dove V_m è l'ampiezza e ω è la pulsazione. La corrente I(t) che scorre nel circuito può essere rappresentata nel dominio complesso come I = V/Z, dove Z è l'impedenza totale del circuito. L'impedenza in questo caso è data da Z = R + j(ωL - 1/ωC), dove ωL rappresenta la reattanza induttiva e 1/ωC la reattanza capacitiva. Utilizzando questa formula, è possibile calcolare facilmente la corrente, la tensione e le perdite di potenza nel circuito.

Le formule associate all'uso di numeri complessi nelle reti elettriche sono numerose e fondamentali. Una delle più importanti è la legge di Ohm per le correnti alternate, che si esprime come V = IZ, dove V è la tensione, I è la corrente e Z è l'impedenza. Questa formula consente di calcolare una grandezza conoscendo le altre due. Inoltre, la potenza complessiva in un circuito può essere espressa come P = VI*, dove V è la tensione, I* è il complesso coniugato della corrente e P rappresenta la potenza complessiva. La potenza attiva, reattiva e apparente possono quindi essere calcolate utilizzando le rispettive relazioni, contribuendo a un’analisi più completa delle performance del circuito.

L'adozione dei numeri complessi in elettrotecnica non è un fenomeno recente; essi sono stati sviluppati e perfezionati da diversi matematici e ingegneri nel corso degli anni. Tra i pionieri vi è stato il matematico svizzero Leonhard Euler, che nel XVIII secolo ha introdotto la formula di Eulero, che stabilisce una profonda connessione tra le funzioni trigonometriche e le esponenziali complesse. Il suo lavoro ha aperto la strada all'applicazione dei numeri complessi nel campo dell'ingegneria. Successivamente, il matematico francese Jean-Baptiste Joseph Fourier ha sviluppato la teoria delle serie di Fourier, che permette di rappresentare funzioni periodiche mediante combinazioni di sinusoidi, integrando così le applicazioni dei numeri complessi con l'analisi dei segnali.

Inoltre, ingegneri come Nikola Tesla e Thomas Edison hanno contribuito notevolmente allo sviluppo delle teorie sulla corrente alternata. Le loro intuizioni e innovazioni hanno spinto l'uso di metodi matematici avanzati, come i numeri complessi, per analizzare le reti elettriche e migliorare la distribuzione dell'energia.

In sintesi, l'uso dei numeri complessi nelle reti elettriche ha rivoluzionato il modo in cui gli ingegneri e i tecnici affrontano l'analisi e la progettazione dei circuiti. La rappresentazione delle grandezze elettriche come numeri complessi non solo semplifica i calcoli, ma offre anche una visione più profonda delle interazioni tra le varie componenti di un circuito. Grazie ai contributi di matematici e ingegneri nel corso della storia, oggi possiamo utilizzare questi strumenti per progettare sistemi elettrici più efficienti e complessi, in grado di soddisfare le esigenze dell'era moderna.