L'analisi dei fasori è un concetto fondamentale nell'elettrotecnica, in particolare nell'ambito dell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata (AC). I fasori forniscono uno strumento potente per rappresentare e comprendere le grandezze elettriche oscillanti, come tensioni e correnti, permettendo di semplificare i calcoli e di visualizzare le relazioni tra le varie componenti del circuito. Questo approccio consente di affrontare complessità che altrimenti sarebbero difficili da gestire, dato che le grandezze in AC non seguono un comportamento lineare semplice.

Nel contesto dell'analisi dei circuiti, un fasore è una rappresentazione di una grandezza oscillante in forma di vettore nel piano complesso. Questa rappresentazione consente di separare la grandezza in una componente reale e una componente immaginaria, facilitando così il calcolo delle grandezze elettriche. Un fasore è definito da un'ampiezza, un angolo e una frequenza, e può essere rappresentato come un numero complesso. Ad esempio, una corrente alternata che varia nel tempo come \(I(t) = I_m \sin(\omega t + \phi)\) può essere rappresentata nel dominio dei fasori come \(I = I_m e^{j\phi}\), dove \(I_m\) è l'ampiezza, \(\omega\) è la frequenza angolare e \(\phi\) è la fase.

La trasformazione da forma temporale a forma fasoriale è utile perché consente di utilizzare la algebra dei numeri complessi. Questo approccio semplifica il lavoro con circuiti in cui sono presenti resistenze, induttanze e capacitò, poiché le relazioni tra queste componenti possono essere espresse in termini di impedenza, che è anch'essa una grandezza complessa. L’impedenza \(Z\) di un circuito può essere espressa come \(Z = R + jX\), dove \(R\) è la resistenza e \(X\) è la reattanza, che può essere positiva (induttanza) o negativa (capacità).

L'analisi fasoriale consente di calcolare le correnti e le tensioni in un circuito AC utilizzando le leggi di Kirchhoff e le leggi fondamentali dell'elettricità, semplificando notevolmente le equazioni da risolvere. La somma di fasori, ad esempio, segue le stesse regole della somma di vettori, rendendo più facile l'analisi della sovrapposizione delle tensioni e delle correnti in circuiti complessi. Inoltre, permette di affrontare problemi di fase e di sfasamento tra le grandezze elettriche, che sono cruciali nel funzionamento di molte applicazioni elettriche e elettroniche.

Un esempio pratico dell'uso dei fasori è l'analisi di un circuito RLC in serie, composto da una resistenza \(R\), un’induttanza \(L\) e un condensatore \(C\) collegati in serie a una fonte di tensione alternata. Supponiamo di avere un circuito con \(R = 10 \, \Omega\), \(L = 0.1 \, H\) e \(C = 100 \, \mu F\), alimentato da una tensione \(V(t) = V_m \sin(\omega t)\) con \(V_m = 100 \, V\) e \(\omega = 1000 \, rad/s\). Per calcolare le correnti e le tensioni nel circuito, prima trasformiamo la tensione in forma fasoriale: \(V = V_m e^{j0}\).

Le impedenze del condensatore e dell’induttore sono rispettivamente \(Z_C = \frac{1}{j\omega C}\) e \(Z_L = j\omega L\). Calcolando, otteniamo \(Z_C = -j15.9 \, \Omega\) e \(Z_L = j100 \, \Omega\). L'impedenza totale del circuito diventa \(Z_{tot} = R + Z_L + Z_C = 10 + j(100 - 15.9) = 10 + j84.1 \, \Omega\). La corrente fasoriale può quindi essere calcolata usando la legge di Ohm: \(I = \frac{V}{Z_{tot}}\). Da questo punto, possiamo trovare la corrente nel circuito e successivamente le tensioni ai capi di ciascun componente, risolvendo così il problema in modo sistematico.

Le formule utilizzate nell'analisi fasoriale sono molteplici e comprendono il teorema di Pythagora per il calcolo delle ampiezze, che è applicabile per la somma di fasori, oltre a relazioni trigonometriche per il calcolo delle fasi. Ad esempio, la relazione tra la potenza attiva \(P\), reattiva \(Q\) e apparente \(S\) in un circuito è espressa dalla formula \(S = P + jQ\), dove la potenza apparente è definita come \(S = VI^*\), con \(V\) e \(I\) rappresentanti rispettivamente il fasore della tensione e della corrente.

L'analisi fasoriale ha avuto origine da contributi di vari scienziati e ingegneri nel corso della storia. Tra i pionieri vi è sicuramente il fisico e matematico francese Jean-Baptiste Joseph Fourier, il quale ha sviluppato la teoria delle trasformate che consente di analizzare i segnali periodici. Inoltre, il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ha contribuito alla formulazione dei numeri complessi, strumento fondamentale per la rappresentazione dei fasori. Altri importanti contributi sono stati forniti da ingegneri come Nikola Tesla e Thomas Edison, che hanno applicato le teorie dei fasori nei loro lavori sulla corrente alternata, rendendo possibile l'implementazione su larga scala di sistemi elettrici.

In sintesi, l'analisi fasoriale rappresenta una delle pietre miliari dell'elettrotecnica moderna, fornendo un metodo elegante e potente per affrontare i circuiti in corrente alternata. Questo approccio ha rivoluzionato il modo in cui gli ingegneri progettano e analizzano i circuiti elettrici, consentendo di gestire la complessità delle interazioni tra tensioni, correnti e componenti. La sua applicazione continua a essere fondamentale in numerosi ambiti, dall'energia elettrica alle telecomunicazioni, dimostrando l'importanza dei fasori nell'ingegneria elettrica contemporanea.